Расчет электрических цепей.Второй закон Кирхгофа В замкнутом контуре электрической цепи сумма всех эдс равна сумме падения напряжения в сопротивлениях того же контура.E1 + E2 + E3 +...+ En = I1R1 + I2R2 + I3R3 +...+ InRn.
При составлении уравнений выбирают направление обхода цепи и произвольно задаются направлениями токов.
Если в электрической цепи включены два источника энергии, эдс которых совпадают по направлению, т. е. согласно изображению 1, то эдс всей цепи равна сумме эдс этих источников,
т. е. E = E1+E2.
Если же в цепь включено два источника, эдс которых имеют противоположные направления, т. е. включены встречно изображение 2, то общая эдс цепи равна разности эдс этих источников Е = Е1—Е2.

При последовательном включении в электрическую цепь нескольких источников энергии с различным направлением эдс общая эдс равна сумме эдс всех источников.
Складывая эдс одного направления, берут со знаком плюс, а эдс противоположного направления - со знаком минус.
В нашем случае, при встречном включении, положения щупов пришлись на противоположную полярность источника большего напряжения, поэтому на приборе отрицательный знак.






Метод эквивалентного генератора.Этот метод используется тогда, когда надо определить ток только в одной ветви сложной схемы.
Чтобы разобраться с методом эквивалентного генератора, ознакомимся сначала с понятием "двухполюсник".
Часть электрической цепи с двумя выделенными зажимами называется двухполюсником.
Двухполюсники, содержащие источники энергии, называются активными (можно представить как источник).

Условное обозначение активного двухполюсника.
Двухполюсники, не содержащие источников, называются пассивными (можно представить как потребитель).
На эквивалентной схеме пассивный двухполюсник может быть заменен одним элементом - внутренним или входным сопротивлением пассивного двухполюсника Rвх.

Условное изображение пассивного двухполюсника и его эквивалентная схема.
Входное сопротивление пассивного двухполюсника можно измерить.
Если известна схема пассивного двухполюсника, входное сопротивление его можно определить, свернув схему относительно заданных зажимов.
Дана электрическая цепь (любая).
Необходимо определить ток I в ветви с сопротивлением R в этой цепи.
Выделим эту ветвь, а оставшуюся часть схемы заменим активным двухполюсником.

Согласно теореме об активном двухполюснике, любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором(источником напряжения) с ЭДС, равным напряжению холостого хода на зажимах этого двухполюсника и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению того же двухполюсника, из схемы которого исключены все источники.

Искомый ток I определится по формуле:
I = Uxx/Rвх + R ;
Параметры эквивалентного генератора (напряжение холостого хода и входное сопротивление) можно определить экспериментально или расчетным путем.
Ниже показан способ вычисления этих параметров расчетным путем. Изобразим схему, предназначенную для определения напряжения холостого хода.

В этой схеме ветвь с сопротивлением R1 разорвана, это сопротивление удалено из схемы.
На разомкнутых зажимах появляется напряжение холостого хода.
Для определения этого напряжения составим уравнение для первого контура по второму закону Кирхгофа:
E1 = Uxx + R3 x I3,
откуда находим
Uxx = E1 - R3 x I3,
где I3 = I2 определяется из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для второго контура:
I3 = I2 = E2/Rвх + R2 + R3;
Так как первая ветвь разорвана, ЭДС E1 не создает ток.
Падение напряжения на сопротивлении Rвн1 отсутствует.
Изображена схема, предназначенная для определения входного сопротивления.
Из схемы удалены все источники (E1 и E2), т.е. эти ЭДС мысленно закорочены. Входное сопротивление Rвх определяют, свертывая схему относительно зажимов:
Rвх = Rвн1 +(( Rвн2 + R2 ) x R3 /( Rвн2 + R2 + R3));
Для определения параметров эквивалентного генератора экспериментальным путем необходимо выполнить опыты холостого хода и короткого замыкания.
При проведении опыта холостого хода от активного двухполюсника отключаем сопротивление R, в котором необходимо определить ток I.
К зажимам двухполюсника подключаем вольтметр и измеряем напряжение холостого хода Uxx.

При выполнении опыта короткого замыкания соединяем проводником зажимы активного двухполюсника и измеряем амперметром ток короткого замыкания Iкз.

На самом деле, таким образом замерить ток короткого замыкания можно только на источнике малой мощности с большим внутренним сопротивлением, на аккумуляторах и гальванических элементах малой мощности.
Расчитать ток к.з. можно, зная напряжение холостого хода и входное сопротивление двухполюсника.
Iкз = Uxx / Rвх; отсюда Rвх = Uxx / Iкз;
Сложные электрические цепи. Сложные электрические цепи могут содержать несколько контуров с любым размещением источников энергии и потребителей и неявляются набором последовательных и параллельных соединений.
Несмотря ни на что, можно найти распределение токов и напряжений на всех участках любой сложной цепи.
Обычно замкнутая цепь является частью сложной цепи, как показано, например, на изображении.

Замкнутая цепь обозначена буквами A,B,C,D.
Из-за ответвлений в точках A,B,C,D, токи I1, I2, I3, I4, отличаясь по величине, могут иметь и различные направления.
Для такой цепи в соответствии со вторым законом Кирхгофа можно написать:
E1 - E2 - E3 = I1(Re1+R1) - I2(Re2+R2) - I3(Re3+ R3) + I4 R4,
где Re1, Re2, Re3 — внутренние сопротивления источников энергии;
R1, R2, R3, R4 — сопротивления потребителей энергии.
Если внешняя цепь источника энергии с внутренним сопротивлением Re состоит, например, из трех последовательно соединенных резисторов с сопротивлениями, соответственно равными R1, R2, R3, то на основании второго закона Кирхгофа можно написать следующее равенство:
E = I (Re + R1 + R2 + R3).
При нескольких источниках тока в левой части этого равенства была бы сумма эдс этих источников.
При параллельном включении двух или нескольких источников энергии токи, проходящие в них, в общем случае неодинаковы.

Если два параллельно соединенных источника энергии, имеющих эдс Е1 и Е2 и внутренние сопротивления R1, R2, замкнуть какое-либо внешнее сопротивление R,
то токи во внешней цепи I и в источниках I1 и I2 можно определить из следующих выражений:
I = I1 + I2; I = U/R;
I1 = (E1-U) / R1; I2 = (E2-U)/R2;
Отсюда ток во внешней цепи:
I = (E1 R2 + E2 R1) / (R1 R2 + R R1 + R R2);
Токи, протекающие через первый и второй источники энергии:
I1= (E1 - I R) / R1 и I2 = (E2 - I R) / R2;
Метод наложения токов - один из вариантов расчета сложных электрических цепей, принцип которого заключается в том, что ток в какой-либо ветви является суммой токов, создаваемой в ней каждой ЭДС цепи в отдельности.
На изображении цепь, содержащая три источника с ЭДС E1, E2, Е3 и четыре последовательно соединенных резистора R1, R2, R3, R4.

Если пренебречь внутренним сопротивлением источников энергии, то сопротивление цепи равно R = R1 + R2 + R3 + R4.
Допустим, что ЭДС первого источника E1 не равно нулю, а второго и третьего
равны нулю, т. е. E2 = 0 и Е3 = 0.
Далее Е2 не равно 0, а Е1 = 0 и Eз = 0.
И, попробуем Е3 не равно 0, а Е1 = 0 и E2 = 0.
В первом случае ток в цепи, совпадающий по направлению
с эдс Е1 равен I1= E1/R;
Во втором случае ток в цепи, совпадающий по направлению
с эдс Е2 равен I2 = E2/R;
В третьем случае ток равен I3 = E3/R и совпадает по направлению с эдс Е3.
Так как Е1 и Е3 совпадают по направлению в контуре, то токиI1 и I3 также совпадают, а ток I2 имеет противоположное направление, так как эдс Е2 направлена встречно по отношению к эдс Е1 и Е3 (запишутся I2 и U2 с противоположными знаками).
Ток в цепи равен:
I = I1 - I2 + I3 = Е1/R – E2/R + E3/R =
= (E1 - E2 + E3) / (R1 + R2 + R3 + R4).
Определяя токи нужно знать сопротивления ветвей, а также значение и направление всех эдс.
Составляя уравнения, по законам Кирхгофа, следует произвольно задаться направлениями токов в ветвях.
Если настоящее направление тока в какой-либо ветви противоположно выбранному, то после решения уравнений этот ток получится со знаком минус.
Число необходимых уравнений равно числу неизвестных токов, при этом число уравнений по первому закону Кирхгофа должно быть на единицу меньше числа узлов цепи, остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, причем следует выбрать наиболее простые контуры и так, чтобы каждый из них содержал хотя бы одну ветвь, не входившую в ранее составленные уравнения.
Расчет сложной цепи с применением уравнений по законам Кирхгофа рассмотрим на примере двух параллельно включенных источников, замкнутых на сопротивление.

Пусть эдс источников Е1 = Е2 = 200 В, их внутренние сопротивления R1 = 5 Ом?
R2 = 10 Ом, сопротивление нагрузки R = 30 Ом.
Так как число неизвестных токов три, то необходимо составить три уравнения.
При двух узловых точках необходимо одно узловое уравнение по первому закону Кирхгофа: I = I1 + I2.
Второе уравнение напишем при обходе контура, состоящего из первого источника и сопротивления нагрузки:
E1 = I1 R1 + IR.
Аналогично запишем третье уравнение :
Е2 = I2 R2 + I R.
Подставляя численные значения, получим:
200 = 5 I1+30 I и 200 = 10 I2+30 I
Так как E1 - E2 = 200 - 200 = 0, то
E1 - E2 = (I1 R1 + I R) - (I2 R2 + I R) = I1 R1 + I R - I2 R2 - I R = I1 R1 - I2 R2 = 5 I1 - 10 I2 = 0;
I1=10 I2 / 5 = 2 I2, подставим это в I = I1 + I2, получим : I = 2 I2 +I2 = 3 I2;
Подставляя эти значения в выражение для эдс E1 получим:
200 = 2 I2 x 5 + 3 I2 x 30 = 100 I2; отсюда:
I2 = 200/100 = 2A; I1 = 2 I2 = 4A; I = 2 + 4 = 6A;
Метод узловых напряжений. Часто используют метод узлового напряжения, который удобно применять к сложным электрическим цепям, имеющим две узловые точки A и B , и состоящим из нескольких параллельно соединенных источников энергии, работающих на общее сопротивление.

Обозначив потенциалы в узловых точках фa и фb, напряжение между этими точками U можно выразить разностью этих потенциалов, т. е. U = фa—фb.
Приняв за положительное направление эдс и токов в ветвях от узла а к узлу для каждой из ветвей, можно написать равенства:
I1 = (фa-фb-E1)/R1=(U-E1)g1;
I2 = (фa - фb + E2)/R2 =
= (U + E2)g2;
I3 = (фa - фb - E3)/R3 = (U - E3)g3;
I = (фa - фb)/R = Ug.
(g - проводимость)
На основании первого закона Кирхгофа для узловой точки имеем:
I1 + I2 + I3 + I4 = 0
Подставив в эту сумму значения токов, найдем:
(U- E1)g1 + (U + E2)g2 + (U- E3)g3 + Ug = 0,
отсюда

т. е. узловое напряжение равно cумме произведений эдс и проводимостей всех параллельных ветвей, деленной на сумму проводимостей всех ветвей.
Вычислив по этой формуле узловое напряжение и воспользовавшись выражениями для токов в ветвях, легко определить эти токи.
Метод контурных токов. Для определения токов в сложных цепях, содержащих несколько контуров
и эдс, применяют метод контурных токов.
Предполагают, что в ветвях, входящих в состав двух смежных контуров, протекают два контурных тока, из которых первый представляет собой ток
одного из смежных контуров, а второй — другого контура.
Действительный ток в рассматриваемом участке цепи определяется суммой или разностью этих двух токов в зависимости от их взаимного относительного направления.
При использовании метода контурных токов составляют уравнения, исходя из суммы сопротивлений, входящих в состав данного контура, и суммы сопротивлений, входящих в состав ветви, общей для смежных контуров.
Первую сумму условно обозначают двойным индексом, например R11, R22 и т. д., а вторую сумму — индексом, содержащим номера контуров, для которых данный участок цепи является общим, например R12, R13 и т. д.
Если контур содержит несколько источников с эдс Е1, Е2, Е3 и т.д., то на основании второго закона Кирхгофа для этого контура можно записать следующее уравнение:
Е1 ± Е2 ± Е3 ±... = I1R11 ± I2R12 ± I3R13 ±...
В этом уравнении знак «+» или «—» берется в зависимости от взаимного относительного направления эдс и токов в контуре (при одинаковом направлении — плюс, при противоположном — минус).
Аналогичные уравнения могут быть записаны для всех контуров, входящих в сложную электрическую цепь. Таким образом, алгебраическая сумма эдс каждого контура равна алгебраической сумме произведения тока в данном контуре на сумму сопротивлений всех звеньев, образующих его, и контурных токов всех контуров, смежных с данным контуром, на сопротивления их общих звеньев.

Сложная электрическая цепь,содержащая три контура.
В цепи два источника с эдс
E1 =12 v, Е2 = 8 v
и внутренним сопротивлением
R01 = 4 om, R02 = 3 om
и пять сопротивлений
R1 = 20 om, R2 = 29 om, R3 = 40 om,
R4 = 8 om, R5 = 16 om.
Находим сопротивления:
R11 = R1 + R01 + R4 = 20 + 4 + 8 = 32 om;
R22 = R2 + R02 + R5 = 29 + 3 + 16 = 48 om;
R33 = R3 + R4 + R5 = 40 + 8 +16 = 64 om;
R13 = R31 = R4 = 8 om;
R23 = R32 = R5 =16 om.
Составляем уравнения:
для контура 1: E1 = I1 R11 — I3 R13; 12 = 32 I1 — 8 I3;
для контура 2: E2 = I2 R22 — I3 R23; 8 = 48 I2 — 16 I3;
для контура 3: E3 = I3 R33 — I1 R31—I2 R32; 0 = 64 I3—16 I22—8 I1.
Решая эти уравнения, находим:
I1 = 0,4 А;
I2 = 0,2 А;
I3 = 0,1A;
I4 = I1—I3 = 0,3 А;
I5 = I2—I3 = 0,1 А;